신의 방정식 오일러 공식

https://intj1004.tistory.com/entry/%EB%85%BC%EB%A6%AClogic%EB%9E%80-%EB%AC%B4%EC%97%87%EC%9D%B8%EA%B0%80-%EC%A1%B4%EC%9E%AC%EC%99%80-%EC%84%B8%EA%B3%84%EC%9D%98-%ED%8B%80

논리(logic)란 무엇인가? 존재와 세계의 틀

저번 글에서 세계는 논리라는 틀로 이루어졌다고 설명 하였습니다.

그렇다면 논리의 가장 기본적인 뼈대는 무엇이고

세계가 논리라는 구조의 담겨있다면 그 구조는 무엇으로 이루어져 있는 것일까요?

세계인 우주가 정말로 논리적인 구조로 이루어져 있다면

우주의 시작을 알기 위해

우주의 과거로 끊임없이 논리적으로 추론하여 추적하다 보면

언젠간 제1원인이라는 명제(시작점)에 도달하게 되지 않을까요?

 

인과율의 법칙에 따라 결과가 있으면 반드시 원인이 있기에

세계의 실상에는 반드시 시작점이 되는 원인이 존재하게 되기 마련이기 때문이죠

아무튼 위에 글에서 논리학에서 연역은 전제로부터 결론을 도출해 내는 것이므로

일정한 명제를 출발점으로 해야 한다라고 설명을 한 적이 있습니다

 

명제라는것

수학이란 학문에서 이 명제라는 것은 정말 중요합니다

명제란 개인의 주관적인 가치판단이 개입될 수 없는,

누구라도 참인지 거짓인지 일치된 판단을 할 수 있는 문장이나 식을 말합니다

 

그러므로 수학의 방정식에서 x는 진리치를 갖는 것이다

즉 참이거나 거짓이라는 속성을 가져야만 하는 명제다라고 나타낼 수가 있죠.

 

고대부터 수학의 명제들은 다른 학문들의 명제들과 달리 확실한 지식으로 여겨졌습니다

모든 수학적 정리는 논리학의 공리 및 추론 규칙들로부터 증명될 수 있기 때문이죠

 

전 세계 어딜가든 이렇게 무모순성과 완전성을 가진 학문은 찾아볼 수가 없습니다

이런 점에서 수학을 '지식의 확실성'의 기반한 논리적인 학문이라고 하는 거고

그러하기 때문에 모든 수학적 개념은 논리학으로 분석될 수 있습니다.

 

그럼 대체 수학이랑 우주의 비밀이랑 무슨 관련이 있고

왜 사람들이 우주의 비밀을 찾기 위해 수학에 미쳐버리는지 설명해 보려고 합니다.

 

고전적인 수학적 플라톤주의자들은 수학적 참이 물리학에서의 참만큼이나 문자 그대로의 객관적인 참일 뿐만 아니라

수학적 대상들 또한 원자, 세포와 같은 과학적 탐구 대상들만큼이나 실재한다고 주장합니다

 

예를 들면 수학은 "삼각형의 세 중선은 한 점에서 만난다"라는 사실에

결코 만족하지 않습니다. 아무리 직관적으로 사실인게 분명하다고 판단되어도 그렇습니다

수학에서 그건 원래 그런거야 말따위는 절대 하면 안됩니다

왜냐하면 수학에선 그냥 그런가 보다 하는 건 용납되지 않기 때문입니다.

언제나 수식으로 말해야 합니다

 

수학에선 왜 만나는가? 왜 만날 수밖에 없는가? "증명하는 것이 더 중요합니다

증명되지 않는 사실은 '정리'가 될 수 없고 다만 가설로 남을 뿐이기 때문입니다.

수학은 확률을 인정하지 않습니다 정리가 가능한 사실만 중요하지요

 

확실성이 증명될 때까지 끊임없이 회의하고 의심하는 학문이 수학입니다.

갈릴레오 갈릴레이라는 (피사의 사탑에서 자유낙하 실험을 했던 사람) 수학자는 이런 말을 했습니다

 

"우주를 관찰하고 연구하는 것으로 삶의 비밀을 알게 해 준다. 철학은 우주라는 책에 쓰여 있다.

이 거대한 책은 우리 눈앞에 펼쳐져 있다. 우주가 하나의 책이다. 이 책은 언어를 배우지 않고는 이해할 수 없다.

그 언어는 무엇인가? 바로 수학이다

 

그 문자는 도형이다 이걸 모르고는 이 책의 단어를 하나도 이해할 수 없다."

갈릴레이는 이 우주가 하나의 철학책이라고 합니다.

 

우주라는 책을 읽기 위해서는 수학을 공부해야 하는 것인가 봅니다

요즘 들어서 느끼는 생각은 수학은 사실 엄청나게 흥미로운 학문입니다

심지어 알면 알수록 더욱 더 흥미로워지죠

솔직히 본인도 학창 시절에는 수학을 별로 안좋아했는데

요즘 들어서 다시 흥미를 느껴 수학을 공부하고 있습니다

 

예전과 다르게 수학이나 과학이 너무 재미가 있네요

오히려 이젠 시간이 부족해서 수학 공부를 하고싶어도 못하고 있는 상황이죠 ㅠㅠ

글쓴이가 중학교때를 생각을 해보면 정말 대한민국의 공교육이

언제까지나 이런식으로 진행되선 안 된다고 생각합니다

 

정말 재미있는 수학을 가지고서 학교는 완전 재미없는 방식으로 가르치기 때문이죠

이 얼마나 비효율적인가요?

저는 이 망할놈의 학교 덕분에 하마터면 평생 수학은 별볼일없고 따분하기만 한 것이라

착각하며 살다 인생 하직할 뻔했습니다

 

무의미한 입시경쟁과 주입식 교육은 반드시 폐지되어야 합니다

학생들에게 뻔한 공식만 알려주는 게 아니라 원리를 알려줘야 합니다

원리를 이해하지 못한 공식같은건 변수같은게 생기면

바로 무용지물이 되어 버립니다

 

학생들이 스스로 문제를 해결해가며 다양한 상황에서 배움을 능동적으로 활용 할수있도록

교육방식을 바꿔야합니다

왜 학교에서 배운것들은 사회에 나가면 곧장 쓸모없는 지식들로 되어버릴까요?

학교 밖으로 나가면 쓸모없는 것들인데 굳이 열심히 배우고 싶은 생각이 들긴 들까요?

언제까지 우리는 이런 쓸모없는 짓거리를 반복해야 하나요?

 

근본적인 원리를 먼저 알아야 합니다 실제로 삶에서 사용할 수 있게요

결국은 다 사람답게 잘살라고 교육을 하는거 아닌가요?

개인적인 생각이지만 사람이 무슨 짐승도 아니고

공부는 단순히 먹고살기 위한 목적을 위해서만 하는 것이 아니라

능지가 있는 사람이기 때문에 하는 것입니다

 

동물과 달리 사람은 지적인 호기심이 있으니까요

공부자체의 흥미가 느껴지도록 아이들의 호기심을 자극하여 주는것이

진정으로 바람직한 방식의 교육이라 생각합니다

올바른 가치관을 지닌 교육자가 갖춰야할 태도 이기도하고요

그리고 훨씬 효율적이기도 합니다

 

왜냐하면 아무 영문도 모른채로 강제로 공부해야하는 상황이 되면

오히려 동기부여도 안되고 스트레스만 잔뜩 받아서

공부의 집중도 잘 안되기 때문이죠

괜히 흥미만 떨어지고 거부감만 생깁니다

 

학생들이 아무 이유없이 반항하는 것은 아니라고 생각합니다

비록 저같은 경우 어렸을 때 이런 잘못된 교육방식 덕분에 공부자체에 거부감이 생겨서

실컷 삽질하고 결국 인생을 한참 돌아서 가야 하는 처지가 되어 버렸지만

저는 그렇다 치더라도

 

앞으로는 우리나라 교육계가 좀 본질적인 방식에 교육으로 바뀌었으면 좋겠습니다

단순히 공무원이 안정적이라고 선생을 업으로 삼는다는게 말이 되나요?

솔직히 선생들이 학생들에게 일말에 애정이라도 있는지 그것조차 의문입니다

 

mz세대만 비난할것이 아니라 요즘 선생들이나 기성세대들도 참 문제가 많다고 생각합니다

글을 쓰다 갑자기 옛날 생각이 나서 푸념이 길어졌습니다

다시 본론으로 들어가도록 하겠습니다

 

우주를 구성하는 가장 중요한 다섯 가지 숫자가 있습니다

수학에서 가장 중요한 숫자는 무엇일까요?

 

0,1

 

개인에 따라 생각이 다를 수 있는데 대게 1이라고 답하는 사람이 많을것 같습니다

1은 무언가가 존재하는 최소단위기 때문입니다 모든 비율을 설명하기 위해서는 1이라는 개념이 필요하지요

성경에서 말하는 하나님이라는 분도 숫자 1(하나)을 존칭으로 칭하는 것이죠

반대로 아무것도 없음을 나타내는 0도 존재합니다

 

반대로 0은 무한을 나타내기도 하지만요

우주는 결국 존재의 최소단위인 1과 아무것도 없는 개념인 0으로 이루어져 있습니다.

결국 우리가 아는 일반적인 숫자는 0과 1로 모두 표현할 수 있습니다. 분수와 소수도 0과 1로 표현할 수 있고요

그래서 우리가 사용하는 컴퓨터 프로그램 또한 이 0과 1을 활용하여 모든 걸 표현할 수 있게 되었습니다

 

그런데 0과 1로 표현할 수 없는 것이 있습니다

 

 

 

원주율𝝅

 

 

사람의 얼굴에 황금률이 있고, 인체 비례도의 황금률이 있듯이

자연에는 어떠한 황금률이 있는 것 같습니다

그중 하나가 바로 파이(𝝅)입니다 𝝅는 원주율이며 원을 상징합니다

 

𝝅 = 3.14159265358979323846264338327...

이렇게 소수점 이하에서 쭉 이어지는데 영원히 끝나지가 않아요

비순환 무한소수라서 무리수라고 부릅니다.

 

무리수 중에는 루트(√)로 표현할 수 있는 무리수가 있고 루트로 표현할 수 없는 무리수가 있는데

𝝅는 루트로 표현할 수 없는 무리수입니다.

이렇듯 원에는 무와 무한이 함께 들어가 있어요

그래서 고대로부터 𝝅근삿값인 3이라는 숫자는 항상 신을 나타내는 숫자로 사용되었죠

우주에 가장 많은 도형이 뭘까요?

 

원은 가장 간단한 도형으로 원자부터, 행성, 초코파이까지 포함해서 우주의 가장 기본을 이루는 형태인데

놀라운 건 초코파이나 태양의 크기는 압도적으로 차이나지만

그와 상관없이 지름과 그 둘레의 비율은 항상 동일하다는 것입니다

지름을 1이라 가정했을 때 둘레의 비율을 나타낸 숫자가 바로 파이(𝝅)인 것이죠

 

맑은 날에 밤하늘을 바라보고 있으면 별이 참 많지요

갑자기 제주도에서 바라보던 밤하늘이 그립네요..

저는 가장 아름다운 도형을 원이라고 생각합니다

 

허수 i

우리 대한민국의 자랑스러운 태극기처럼

우주는 대체적으로 음과 양으로 상대적인 특징을 가지고 있습니다

전기력이 있으면 자기력이 있듯이

+,- N,S 이런식으로 에너지들이 나뉘어져 서로를 향해 흐르고있죠

 

따지고보면 지구자체도 북극과 남극이 있는 하나의 거대한 자석이고요

양성자가 있으면 전자가 있어야 하고

물질이 있으면 반물질이 있어야 하니

자연수가 존재한다면 반대로 가짜수인 허수도 존재해야 하겠죠

 

그게 바로 i입니다

 

i는 허수입니다.

제곱해서 -1이 되는 수로서 수천 년간 허수를 가짜수라고 생각했어요.

허수가 숫자로 인정된 것은 300년도 채 되지 않았다고 합니다

지금은 정식수로 인정을 받고 있습니다. i가 없다면 현대 수학의 절반이 사라진다고 할 정도로 중요한 수가 됐습니다

i는 비록 허구의 수였지만 현실에 강력한 영향을 미치게 되었습니다

 

가상현실을 만드는 게임회사가 현실에서 커피를 무진장 팔아치우는 스타벅스보다 훨씬 더 많은 돈을 벌어들이죠

상상에만 존재했던 쓸모없던 수 i가 현실을 바꾸고 있습니다

 

눈으로 볼 수 있는 우주의 아름다움을 상징하는 수가 𝝅입니다.
그런데 눈으로 보는 것만 중요한 것이 아니라 그것을 통해서 무엇을 상상하느냐가 더 중요할 수 있어요
그래서 눈에 보이는 것만 보고 느끼면 안 됩니다.
마음으로도 보고 느껴야 합니다

지금까지 1과 0 그리고 𝝅와 허수 i가 나왔습니다

 

이 정도라면 수학에서 모든 것을 표현할 수가 있다고 생각했습니다

그런데 무언가 빠져 있었습니다

 

자연상수 e

 

e=2.71828182845904523536⋯

그게 바로 자연상수 e입니다

 

무수히 많은 자연현상에서 원주율 파이가 발견되는 것처럼
많이 발견되는 상수 중 하나가 바로 이 자연상수인데요
우리가 흔히 말하는 지수함수로 증가된다고 표현할 때 사용되는 함수가
이 자연상수입니다

 

어떤 수학자가 돈을 은행에 맡기게 되었어요

은행에 돈을 맡기면 이자가 붙게 되죠 물론 이자는 복리이자입니다

나중에 맡긴 돈을 찾을 때 원금과 이자를 받게 되죠

원금과 이자를 합쳐 '원리합계'라고 하는데 어떤 수학자가 원리합계의 원리를 가지고 e를 유도해 냈습니다.

한번 그 과정을 살펴볼까요?

 

1원을 연이율 100%로 1년 동안 예금할 경우, 1년이 경과한 후에 원금과 이자를 포함하여

찾게 되는 금액은 얼마일까요?

 

원리합계를 구하는 공식은 다음과 같습니다.

 

원리합계 = 원금 ×(1+이율)ⁿ (n은 기간)

 

수학적으로 a(1+r)ⁿ 이렇게 공식을 나타낼 수 있겠죠

 

그러면 원금에 1 이율에 100%, 기간을 1로 대입해 보겠습니다

 

100+(1+100%) ¹

여기서 원금 1원을 생략하고, 100%는 1과 같으므로 식을 다시 쓰면

 

(1+1) ¹......①

과 같습니다. 만약에 1원을 연이율 100%로 2년 동안 예금할 경우, 2년이 경과한 후에

원금과 이자를 포함하여 찾게 되는 금액은 얼마일까요?

연간 이율이 적용되는 예금이므로 만기인 1년이 지났을 때 은행에서 자동으로 재예치하겠지요.

그래서 =의 경우를 2회 실시한 것과 같으므로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

(1+1) ².....②

3년간 예금하면

(1+1) ³ 임을 알 수 있죠.

자, 이번에는 연이율 100%로 6개월만 예금해 보겠습니다.

6개월은 1년 중 절반에 해당하는 기간이므로 이율은 연이율의 절반

(1 ×½)을 받을 수 있습니다.

 

(1+1 ×½) ¹=(1+½) ¹

6개월간 예금 후 해지하고 6개월간 추가로 예금하면 원리합계는 어떻게 될까요?

②에서 살펴본 대로 기간이 2회로 늘어난 것이므로

(1+½) ².....③

②와 같이 기간만 2로 변경하면 됩니다.

 

마찬가지로 3개월간 예금하면 3개월은 1년 중 ¼에 해당하므로

3개월간 예금하면 연이율의 ¼을 받을 수 있습니다.

3개월 예금 후 해지하여 다시 예금하는 식으로 연속 4회씩 1년을 하면

(1+¼)⁴.....④라는 식을 얻을 수 있습니다.

=2.44

 

이렇게 계산하면 ①의 상황에서 2원이 된 것에 비해 ②의 의 상황에서 2.25원이 된 걸 확인하게 됩니다

1억 원을 입금했다면 2억 2500만 원이 된 것이지요 한번 해지하여

다시 입금했더니 무려 2500만 원이나 늘어난 셈이네요 ④의 상황은 2.44로 늘어났고요

 

그렇다면 점점 짧은 주기로 예금과 해지를 반복하면 1년 후의 금액은 더 늘어나겠죠

1년은 365일이니 날마다 예금과 해지를 반복할 수도 있겠네요 그러면 원리합계는 점점 늘어나니깐요

잔머리 좀 쓴다는 사람은 하루보다 더 짧은 단위로 시도할 것입니다

1시간 단위, 1분 단위, 심지어 1초 단위까지 하면 어떨까 상상의 나래를 펴게 됩니다

마치 무한하게 금액이 늘어날 거 같습니다

 

하지만 어떤 수에 가까워지긴 하지만 무한이 되지는 않습니다

기간(ⁿ)이 무한대로 근접하면 어떤 수에 가까워지는데

그 수가 바로 2.71828...입니다

e= lim n→∞(1+1/n)n

 

끝이 없이 이어지는 수이지만 의외로 자연현상에서 너무 자주 발견됩니다

그때마다 이런 식으로 계산하기에는 너무 노가다입니다

 

그래서 별명이 붙었는데 e라고 작명한 사람이 오일러라는 수학자라고 합니다.

𝝅가 우주의 황금률을 상징한다면 e는 자연의 변화와 성장을 나타내는 것 같습니다

자연은 계속 성장하다가 어느 숫자에 가까워지게 됩니다.

무한이 성장하는 것 같지만 한계는 딱 정해져 있는 거 같아요

그게 바로 자연상수 e입니다

 

나무는 어떻게 자랄까요, 풀도 매 순간 자랍니다

아기도 매 순간 크고요 그러나 모든 것들이 영원히 자라지는 않습니다.

그래서 우리 사회에서 인구가 무한하게 늘어나는 것도 아닐 겁니다

어느 한계까지만 증가하다가 이후로는 멈추거나 줄어들겠지요

이 또한 e와 관련이 있습니다 자연에 있는 모든 성장과 변화에는

e가 들어 있습니다.

 

그래서 인구증가함수에도 e가 들어가고

원자의 핵의 분열을 수학적으로 기술해도 e가 들어갑니다.

자연의 변화와 성장에는 항상 e가 함께 한다는 것을 알 수 있습니다.

 

e나𝝅같은 수를 초월수라고 합니다 초월수는 무리수의 한 종류인데 루트로 표현할 수 있는 무리수가 있고
루트로 표현할 수 없는 무리수가 있습니다 루트로 표현할 수 없는 무리수를 초월수라고 합니다

 

아주 흥미로운 숫자이지요

 

 

자, 정리해 보도록 합시다

 

1이 있고, 0이 있습니다. 그리고 e, i,𝝅가 있습니다

이 5가지 수는 세상에 존재하는 수들 중에서 가장 중요한 수입니다

 

결국 현재까지 존재하는 모든 자연현상을 수학적으로 표현하는 데에는
이 다섯 가지면 충분할 정도로 우주의 구조를 담고 있는 숫자들이죠

그런데 가만보면 이 다섯 개의 숫자는 아무런 공통점이 없습니다

 

이렇게 아무런 공통점이 없는 숫자들을 가지고

오일러라는 수학자가 가장 중요한 숫자만으로 구성된 군더더기 없이 깔끔한 공식을 만들어냅니다

 

 

놀랍게도 이 숫자들을 이렇게 배열하면 이렇게 너무나도 간결하고 아름다운 공식이 만들어집니다

도대체 원주율 𝝅와 자연상수 e가 대체 뭔 관계가 있길래 이런 공식이 나오는 걸까요?

 

왜 하필이면 원주율은 3.14...이고

자연상수는 왜 하필 2.71.... 이여서

마치 설계된 것 마냥 공식이 딱 맞아떨어지는 걸까요?

 

이렇게 다양한 영역을 담당하는 숫자들이 한 몸에 엮여 있다는 것은 정말 놀라운 일입니다

어떻게 이게 이런 관계를 맺을 수 있을까 하고 많은 사람들이 놀랐습니다

그래서 많은 학자들은 이 공식을 접하고 우주의 비밀이 수학에 있다고 생각하게 됩니다

따로따로 독립된 수로 알고 있었는데 연관성을 찾으니 하나의 공식으로 완성된 것입니다

 

0과 1은 만능이고 e나𝝅은 초월수입니다 허수 i는 또 다른 세상의 수이고요
허수 i는 수직선에 나타날 수 없는 수이죠
근데 i와 𝝅가 e를 만나서 1을 더하면 0이 된다니
너무 신기하지 않나요?

 

우주가 정말로 만약 모종에 데이터에 기반한

논리체계로 이루어진 일종에 컴퓨터 프로그램이라면

위 공식은 어쩌면 우주가 만들어진 근본적인 알고리즘이지 않을까요?

마지막으로 자연상수 e를 주목해 주시길 바랍니다

 

여기서 i와 파이(𝝅)가 e를 보조하고 1과 0도 e의 보조역할을 합니다
이 중에서 e가 가장 중심이라는 뜻이죠
e 자연상수는 자연의 성장과 변화를 상징한다고 했습니다

 

 

 

제행무상(諸行無常)

 

일체 만물이 끊임없이 생멸변화하여 한 순간도 동일한 상태에 머물러 있지 않음을 의미하는 불교의 근본 교리

모든 것은 생멸변화(生滅變化)하여 변천해 가며

잠시도 같은 상태에 머무르지 않고 마치 꿈이나 환영이나 허깨비처럼 실체가 없는 것을 말한다.

즉, 이 현실세계의 모든 것은 매 순간마다 생멸 변화하고 있으며, 거기에는 항상 불변(恒常不變) 한 것은

단 하나도 존재할 수 없다는 것이 현실의 실상(實相)이라는 것을 뜻한다.

그러나 일체는 무상한데 사람은 상(常)을 바란다.

거기에 모순이 있고 고(苦)가 있다.