5차방정식에 답이 없는 이유

방정식이란 무엇인가?

방정식이란 미지수가 있는 등식을 말합니다

방정식을 푼다는 것은 x인 미지수의 답을 찾는 것입니다

지금 저의 블로그에는 포스팅이 40개가 있는데, 100개를 채우기 위해서는 몇 개의 포스팅을 더 작성해야 할까요?

이를 방정식으로 나타내면 40+x=100이 됩니다

 

우리를 거울에 비춰보면 우리의 상은 반대 성질이 됩니다

우리의 오른손과 왼손이 서로를 거울에 비친 상이 된다는 것을 우리는 경험으로 알고 있습니다

 

마찬가지로 좌변에 있는 양수(+) 40을 우변으로 이항 해주면 40이 반대의 성질을 갖는 음수(-) 40으로 변화합니다

그러면 x=60이 되면서 x의 답이 나오는 것이지요

이처럼 우리는 대칭이라는 속성을 이용하여 방정식의 해를 구하고 있습니다

 

일상생활에서 사람들은 경험적으로 대칭에 친숙해져 있고, 유기체인 우리는 기본적으로 좌우로 대칭적으로 이루어져 있습니다

이처럼 수학의 핵심적인 원리에는 대칭(symmetry)이 기본적으로 깔려있다는 사실을 우리는 알 수 있습니다

그렇다면 물리학자를 제외한 우리 같은 일반적인 사람들이 과연 어떻게 합리적으로 도출된 이러한 수학적 논증을 자연을 이해하는데 도움이 될 것인가? 에 대하여 소희를 적어보도록 하겠습니다

 

방정식 x에 대한 인류의 끝없는 탐구

인류에게 이성이 싹트면서 어떤 사람들은 세계가 시작하게 된 제1원인을 궁금해 하기 시작했습니다

그리고 그것을 미지수 x로 놓고 답을 찾기 시작했다고 합니다

만물은 근원은 '물'이다라고 주장한 '탈레스'부터, 만물의 근원은 '불'이다라고 주장한 '헤라클레이토스'

공기라고 주장한 '아닉시메네스', 그리고 만물의 근원은 '원자'라고 주장한 '데모크리토스'까지 수없이 많은 것을 x에 대입해 봤지만 모두 결국 자성(自性)의 문제에 걸려 버렸다고 합니다

물, 불, 공기, 원자 이러한 것들은 결국 자성(自性) 즉 실체라는 것이 없기 때문입니다

모든 물질은 실체가 없기 때문에 x가 나오지 않자 결국 답을 못 찾았다고 합니다

 

그리고 그 x는 결국 세월이 흘러 수학의 영역으로 넘어갔습니다

수학자들은 차원이라는 개념을 만들어냅니다

일차방정식이 단순히 점 같은 걸 세는 것이라면, 이차방정식은 평면 즉 땅의 넓이(m²), 삼차방정식은 두 개의 밑변과, 높이로 이루어진 건물들의 부피를 측정하기 위해서 사용되었습니다

예를 들어 가로가 5m이고, 세로가 10m, 높이가 10m이면 5 m×10 m×10m 대략 500 m³의 콘크리트가 필요하게 된다는 것이죠

3차 방정식.. 말은 쉽지만 실제론 살벌하다

 

1차, 2차, 3차, 4차 방정식의 해법이 발표되고, 수학이 점점 발달하면서 만약 우리가 살고 있는 3차원의 한계를 넘어 4차원, 그리고 더 나아가 5차원에 이르면 x의 답을 찾을 수 있지 않을까?라는 기대감으로 수학자들의 시선은 자연스럽게 5차 방식으로 옮겨졌습니다

하지만 4차 방정식의 해법을 풀어낸 16세기가 지나서, 300년이 지나는 동안에도 아무도 5차 방정식의 해를 찾지 못하게 됩니다

그래서 수학자들은 자연스럽게 5차 방정식의 일반적인 해법이 애초에 불가능한 것이 아닐까라는 의문을 갖기 시작합니다..

하지만 불가능하다면 왜 불가능한지 증명을 해야 되는데, 그 마저도 쉽지 않았다고 합니다

 

아벨과 갈루아

 

 

1832년 어느 날 갈루아라는 21살이던 프랑스의 한 청년이 결투에서 총을 맞아 허망하게 죽는 사건이 발생하였습니다

그 당시로서는 그저 흔한 사건중 하나로 그냥 넘어갔나 봅니다

하지만, 훗날 그가 남긴 편지 한 통에서 역사적인 사건이 터져 나옵니다

다름 아닌 5차 방정식의 문제가 풀어졌기 때문입니다

 

그런데 이번엔 기존의 해법과 많이 달랐습니다

갈루아는 5차 방정식이 기존과 같은 방식으로 풀 수 없다는 사실을 증명해 낸 것입니다.

그 이유로 대칭의 문제를 들었습니다

5차원은 대칭이 깨져 있기에 어떠한 근해 공식도 만들 수 없고, 따라서 풀 수 없다는 것이 결론입니다

수학자들은 곧 갈루아의 증명이 옳다는 사실을 확인하게 됐다고 합니다

그와 동시에 5차 방정식을 향한 인류의 도전은 막을 내리게 됩니다

 

이젠 어느 수학자도 이제는 5차 방정식을 다루지 않게 된 것입니다

그런데 여기엔 재밌는 사실이 한 가지 있습니다

5차원 세계는 대칭이 깨져 있다는 수학적 증명입니다

 

가장 아름다운 얼굴은 완벽한 대칭이라는 견해가 있습니다.

또한 인간은 대칭을 이룬 건물을 아름답다고 느낍니다

 

대칭이란 곧 '자기 닮음'이라고 볼 수 있습니다 이를 확장해 보면 '반복적 자기 닮음'이라고 볼 수 있으며, 그래서 사람은 자기 자신을 닮은 사람을 사랑하나 봅니다

 

어쩌면 인간의 유전자 속에는 '대칭은 아름답다'는 명제가 각인되어 있을지도 모릅니다

팔랑거리는 나비가 아름답다면, 그 두 날개가 대칭을 이루고 있기 때문일 것입니다.

상대성이론의 제1원리는 모든 관성계가 서로 대칭이라고 논증하고 있습니다.

e=mc2에서 에너지와 질량은 항상 대칭적인 관계로 존재하고 있습니다

우리는 이러한 세계를 상대성 세계라고 부릅니다

 

하지만 대칭이 깨졌있는 세계를 상상하는 것은 쉽지 않습니다 우리는 대칭으로 된 세계에서 살고 있기 때문입니다

생각 하나하나도 좋음, 싦음 있음과 없음, 많고 적음과 같은 대칭에 의해 일어나고 움직입니다

 

갈로아의 증명을 역으로 보면 대칭을 깸으로써 5차원에 이를 수 있다는 애기가 됩니다

고대 그리스부터 이어져내려 온 서양 철학자들이 그렇게 찾던 제1원인을 수학적으로 증명해 낸 것이죠

그렇다면 플라톤이 말하는 이데아의 세계는 대칭이 깨진 세계였던 것일까요?

 

정리하면, 저는 생각의 대칭이 깨져 자유롭게 되면 5차원적인 정신을 가질 수 있다는 애기라고 해석하고 있습니다

수학은 x의 답을 찾지는 못했지만, 그것의 속성만은 정확하게 알아낸 것입니다

 

그냥 존재한다는 것..

우리들의 발목을 잡고 있는 것은 오로지 '생각'입니다

생각이 대칭에 의해 일어나고, 또한 대칭 때문에 얽혀 있습니다.

그래서 생각의 대칭을 깨고 자유롭게 되는 것이 어떤 의미인 것일까 한번 생각해 보게 됩니다

과연 우리들의 마음을 가득 채우고 있는 생각의 대칭들을 어떻게 깰 수 있겠습니까?